TEORI TENTANG ANALISA DINAMIKA STRUKTUR

1. BAB 3 RESPON SISTEM BERDERAJAT –KEBEBASAN- SATU TERHADAP PEMBEBANAN HARMONIS Pada bab ini akan dibahas gerak dari struktur yang dimodalisasi sebagai sistem derajat – kebebasan- satu (one-degree-off-freedom) yang dipengaruhi secara harmonis yaitu, struktur yang dibebani gaya atau perpindahan yang besarnya diyatakan oleh fungsi sinus dan cosinus dari waktu. Dari bentuk pengaruh ini mengakibatkan suatu gerak yang paling penting dalam mempelajai dinamika vibrasi, demikian juga penggunaan dalam dinamika sruktur. Sruktur paling sering dibebani oleh aksi dinamika dari mesin-mesin rotasi, yang menghasilkan pengaruh harmonis akibat adanya eksentrisitas dari massa yang berotasi, yang dapat diabaikan dari mesin itu. Selanjutnya, walaupun pengaruh itu bukan fungsi harmonis, respns dri sruktur dapat dicari dengan menggunakan Metoda Fourier yang merupakan superposisi dari respns diri (individual respons) dengan komponen harmonis dari pegaruh luar. Pendekatan ini akan dibahas pada Bab 5. 3.1. PENGARUH HARMONIS TAK TEREDAM (UNDAMPED HARMONIS EXCITATION) Gaya F(t) yang berkerja pada osilator sederhana (simple oscillator) pada gambar 3.1 dianggap harmonis dengan besar Fo sin ϖ t , dimana Fo adalah amplitude puncak dan model struktur sebagai system derajat-kebebasan-tunggal ϖ t adalah frekwensi dari gaya dalam radial per detik. Persamaan defferensial diperoleh dari penjumlahan semua gaya dalam diagram free body Gambar 3.1 (b), yaitu : mÿ + ky = Fo sin ϖ t (3.1) Solusi dari pers. (3.1) dapat diyatakan sebagai, y ( t ) = yc ( t ) + y p ( t ) (3.2) Dimana y c ( t ) adalah solusi komplementer (complementary solition) yang memenuhi persamaan homogen, yaitu pers. (3.1) di mana bagian kiri sama dengan nol dan y p ( t ) adalah solusi partikulir (particular solition) yang di dasarkan pada solusi yang memenuhi persamaan
2. differensial tak homogen, pers. (3.1). Solusi komplementer (complementary solusition) y c ( t ) adalah y c ( t ) = A cos ω t + B sin ω t (3.3) Di mana ω t = k m Melihat bentuk dari fungsi gaya pers. (3.1) disarankan uuk melihat solusi partikulir (particular solition) seperti y p ( t ) = Y sin ϖ t (3.4) Dimana Y adalah harga puncak (peak value) dari solusi partikulir (particular solition) subtitusi pers. (3.4) kedalam pers. (3.1) dan hilangkan faktor yang sama, didapatkan − mϖ 2Y + kY = F0 Atau F0 F k Y= = 0 2 (3.5) k − mϖ 2 1− r Di mana r menyatakan ratio (ratio frekuensi) dari frekuensi gaya yang berkerja pada frekuensi natural getaran dari sistem (natural frequency of system) yaitu, (3.6) Kombinasi pers. (3.3) dan pers. (3.5) menghasilkan (3.7) Jika kondisi awal (initial conditions) pada waktu t = 0 diambil nol ( ), maka kosatanta integrasi yang didapat dari pers. (3.7) adalah Jika disubsitusikan pada pers. (3.7) memberikan (3.8) Seperti terlihat pada pers. (3.8) bahwa respons diberikan oleh superposisi dari dua bagian harmonis dengan frekuensi yang berdeda. Hasil geraknya tidak harmonis,namun dalam praktek, gaya redaman selalu mincul dan mengakibatkan adanya bagian terakhir itu, yaitu hilangnya bagian getaran bebasdari pers. (3.8). oleh sebab itu bagian ini dikatakan adanya respons
3. transien/respons sementara (transient response). Bagian fekuensi paksa (forcing frequency) pada pers. (3.8) adalah (3.9) Dan dinamakan respons keadaan tetap (steady state response). Jelas dari pers. (3.8) bahwa dalam keadaaan tak terredam, pengaruh transien (sementara) tidak hilang dan repons akan diberikan pers. (3.8). juga terlihat dari pers. (3.8) atau pers. (3.9) bahwa bila fekuensi paksa (forcing frequency) sama dengan frekuensi natural (r = 1,0), amplitude dari gerak menjadi besar tak terhingga. Suatu sistem diberi pengaruh luar dengan frekuensi yang selaras dengan frekuensi natural disebut ber-resonansi. Pada kondisi ini amplitude akan bertambah bertahap menjadi tak hhingga besarnya. Namun bahan yang biasanya dipakai dalam praktek mempunyai limit kekakuan dan pada kondisi sebenarnya struktur akan runtuh jauh sebelum tercapainya amplitudo maxsimum. 3.2. PENGARUH HARMONIS TEREDAM (DAMPED HARMONIC EXCITATION) Perhatikan keadaan system derajad-kebebasan- satu (one-degree-of freedom) pada Gambar 3.2. yang yang bergetar dibawah pengaruh redaman liat (viscous damping). Persamaan differensial didapat dengan menyamakan jumlah gaya-gaya dari diagram free body Gambar 3.2 (b) dengan 0, jadi (3.10) Solusi lengkap dari persamaan itu terdiri dari dari solusi komplementer dan solusi partikuler solusi komplementer yang diberikan untuk keadaan redaman subkritis (underdamped) oleh pers. (2.15) sebagaiξ Solusi partikuler didapat dengan mengsubsitusikan yang pada keadaan ini dianggap mempunyai bentuk (3.11) Keadaaan pers. (3.10) dan samakan koefisien dari fungsi sinus dan cosines. Kita mengikuti cara Euler, yaitu
4. (3.12) Untuk saran ini, pembaca harus menyadari bahwa pers. (3.10) dapat ditulis sebagai, (3.13) Dengan pengertian bahwa hanya komponen imajener dari yaitu komponen gaya yang berkerja dan tentu saja respons akan hanya terdiri dari bagian imajiner dari seluruh jawaban persamaan (3.13) yang mempunyai komponen riel dan komponen imajiner, dan melupakan komponen riel. Adalah beralasan untuk mengharapkan solusi partikuler dari pers. (3.13) berbentuk subtitusi pers. (3.14) kedalam pers. (3.13) memberikan (3.14) Atau Dan (3.15) Dengan menggunakan bentuk koordinat polar, bilangan kompleks penyebut dar pers. (3.15) dapat ditulis sebagai Atau (3.16) Dimana (3.17) Respons untuk gaya (komponen imajiner dari ) adalah komponen imajiner dari pers. (3.16) yaitu,
5. (3.18) Atau (3.19) Dimana Adalah amplotudo dari gerak keadaan tetap (steady-state motion). Persamaan (3.18) dan (3.17) dapat ditulis dengan baik sekali dalam bentuk rasio tampa dimensi seperti (3.20) Dan Dimana rumus terlihat sebagai lendutan statis dari pegas diatas mana bekerja gaya rumus rasio redaman rumus dan rasio frekuensi rumus Respons total didapat dari penjumlahan solusi komplementer (respons transien) dari pers. (2.15) dan solusi partikuler (respons keadaaan tetap/steady-state) dari per. (3.20) adalah Pembaca harus memperhatikan bahwa kostanta integrasi A dan B harus di evaluasi dari kondisi awal dengan menggunakan respons total yang diberikan pers. (3.22) dan tidak dari hanya komponen transien dari respons yang diberikan pers. (2.15). Dengan mempelajari komponen transier dari respons, terlihat bahwa munculnya faktor exponensial rumus menyebabkan komponen ini hilang dan tertingggal hanya gerak keadaan tetap (steady state motion) yang diberikan oleh pers. (3.20).
6. Ratio dari amplitude keadaan tetap (stady state amplitude) rumus dan lendutan statis rumus seperti yang didefinisikan sebelumnya, dikenal sebagai faktor pembesaran dinamis (dynamic magnification factor) bervariasi dengan ratio frekuensi r dan ratio redaman ξ. Plot parameteris (parametric plots) dari faktor pembesaran dinamis terlihat pada Gambar 3.3. sudut Fasa (phasa angel) θ juga bervariasi dengan besaran yang sama seperti Gambar 3.4. perlu diperhatikan pada Gambar 3.3. bahwa untuk sistem dengan redaman kecil, amplitudo puncak mencapai nilai ratio frekuensi yang sangat dekat dengan satu yaitu, faktor pembesaran dinamis yang besarnya mencapai nilai maxsimum pada kondisi resonansi (r = 1). Gambar Juga dapt dilihat dri pers. (3.23) bahwa pada saat resonansi, faktor pembesaran dinamis berbanding terbalik dengan rasio redaman, yaitu Meskipun faktor pembesaran dinamis yang dievaluasikan pada saat resonansi mendekati harga maksimumnya, tapi tidak merupakan respon maksimum untuk system terredam. Namun untuk besaran redaman, perbedaan antara haraga pendekatan dari pers. (3.24) dan harga maksimum sebenarnya, dapat diabaikan. Contoh 3.1. sebuah balok pada tengah bentangnya memikul sebuah mesin dengan berat W = 16.000 lb. balok ini terbuat dari dua profil standar S8 X 23 dengan bentang bersih L = 12 ft dan dengan momen inersia penampang total I = 2 X 64,2 = 128,4 in4. Motor berotasi pada 300 rpm (putaran per detik). Dengan ketidak seimbangan rotornya sebesar W’ =40 lb pada jari-jari e0 = 10 in. Berapa besar amplitude dari respons keadaan tetap (steady state response) jika redaman liat ( viscous damping) dianggap ekivalen dengan 10% redaman kritis?
7. System dinamis ini dapat dimodelisasikan sebagai osilator terrendam. Distribusi massa balok diabaikan, dibandingkan dengan massa yang besar dari mesin,Gambar 3.5 dan Gambar 3.6, secara bersama merupakan diagram skematis dari sistem mesin balok dan model yang digunakan. Gaya pada tengah bentang balok, dilendutkan sebesar satu unit besaran (yaitu, koefisien kekakuan) yang bentuknya adalah, Frekuensi natural dari sistem (mengabaikan massa dari balok) adalah Frekuensi gaya Dan ratio frekuensi Sesuai dengan Gambar 3.6. ambil m sebagai massa total dari m’ massa yang berotasi tak seimbang dan, bila y adalah perpindahan vertical dari massa yang berotari (m – m’ ) dari posisi keseimbangan, perpindahan Y1 dari massa m’ seperti yang ditunjukan pada Gambar 3.6. adalah Persamaan gerak didapat dari penjumlah gaya-gaya sepanjang arah vertikal dari diagram free body. Gambar 3.6 (b) dimana gaya-gaya inersia dari masa tak berotasi dan massa tak seimbang juga terlihat dengan jelas. Penjumlahan ini menjadi. Subtitusikan y1 dari pers. (a) memberikan Dan dengan penyesuaiyan kembali didapat
8. Persamaan ini sama dengan bentuk persamaan gerak untuk osilator teredam yang dipengaruhi secara harmonis oleh gaya yang beramplitudo. Dengan mengsubtusikan angka-angka yang sesuai dengan contoh ini didapat Amplitude dari gerak keadaan tetap didapat dari pers. (3.20) yaitu. Contoh 3.2. Sebuah kerangka baja pada Gambar 3.7 memikil sebuah merin rotasi yang mengakibat gaya horizontal pada bidang balaok sebesar F(t) = 200 sin 5,3t, lb. dianggap redaman sebesar 5% redaman kritis. Tertentu, (a) Amplitude keadaan tetap dari getaran dan (b) Tegangan dinamis maxsimum pada kolom dengan anggapan balok sangat kaku. Struktur ini dapat di modeli sebagai osilator teredam untuk analisa dinamis, seperti pada Gambar 3.7(b). parameter-parameter pada model ini dihitung sebagai berikut. Kemudian amplitudo keadaan tetap dari pers. (3.20) adalah Dan gaya geser maxsimum pada kolom Momen lentur maximum pada kolom adalah
9. Dan tegangan maximum Dimana I/c adalah modulus penampang. EVALUASI REDAMAN PADA SAAT RESONNSI (AVALUATION OF DAMPING AT RESONANCE) 3.1METODA “BAND WIDTH” ( HALF POWER) UNRUK EVALUASI REDAMAN (BANDWIDTH/HALFPOWER METHOD TO EVALUATE DAMPING) 3.2RESPON DARI GERAKAN PENYOKONG (RESPONSE TO SUPROT MOTION) 3.3PENYALURAN GAYA KE PONDASI (FORCE TRANSMITTED TO THE FOUNDDATION) Kita telah melihat pada Bab II bahwa lengkung pengungrangan (decay curve) dari getaran bebas memungkinkan evaluasi redaman dari system berdrajad-kebebasan-satu dengan menghitung pengurangan logaritmis (logarithmic decrement) seperti pada pers. (2.28). cara lain untuk menentukan redaman, didasarkan pada oservasi respons keadaan tetap harmonis (steady state harmonic response).
10. Yang memerlukan pengaruh harmonis suatu sruktur dalam daerah getaran yang dekat dengan kondisi resonansi. Dengan menggunakan gaya harmonis rumus yang berharga dekat dengan frekuensi, lengkungan dari resonansi dari struktur dapat di-plot dan menghasilkan amplitudo perpindahan sebagai fungsi dari frekuensi yang digunakan. Bentuk spesifik dari lengkung respons struktur terrendam ini terlihat pada Gambar 3.8. Terlihat dari pers. (3.24) bahwa pada saat resonansi, ratio redaman diberikan oleh Dimana rumus adalah faktor pembesaran dinamis yang dievaluasi pada saat resonansi. Dalam praktek, ratio redaman ξ ditentukan dari evaluasi faktor pembesaran dinamis pada amplitudo maxsimum, yaitu. Dimana Dan rumus adalah amplitudo maxsimum. Kesalahan yang didapat dalam evaluasi ratio redaman ξ dengan menggunakan pendekatan pers. (3.26), tidak terlalu penting pada struktur biasa. Metoda menentukan ratio redaman ini hanya memerlukan alat yang sederhana untuk menggetarkan struktur mendekati frekuensi resonansi dan mengubah (transducer) untuk pengukuran amplitudo, namun dalam evaluasi perpindahan satatis akan timbul rumus masalah biasanya sulit untuk memberikan beban statis untuk struktur. Pengujian sutu lengkung respons pada Gambar 3.3. menunjukkan bahwa bentuk dari lengkung ini dikonrol oleh besarnya redaman yang terjadi dalam sistem; khususnya, “bandwidth” adalah perbedaan antara dua frekuensi sehubungan dengan respons amplitudo yang sama, yang dihubungkankan dengan redaman dalam suatu sistem. Sutu bentuk lengkung amplitudo dari sutu frekuensi didapat dari exsperimen untuk struktur teredam biasa, seperti pada Gambar 3.6. Dalam evaluasi adalah tepat bila mengukur bandwith pada rumus kali amplitudo resonansi yang diberikan pers. (3.24) yaitu,
11. Yang diselesaikan dengan mengkuadrankan kedua sisi yang menghasilkan ratio frekuensi. Atau dengan menghasilkan rumus pada bagian akar Akhirnya ratio redaman diberikan hampir mendekati setengah perbedaan antara ratio frekuensi dari kedua “halfpower”, yaitu Atau Sabab Contoh 3.3. data espelimental untuk respons frekuensi dari sistem derajad-kebebasan-satu di- plot pada Gambar 3.9. amplitudo puncak adalah 0,1134 in, sebab itu amplitudo pada “halfpower” sama dengan Frekuensi pada amplitudo ini didapat dari Gambar 3.6. adalah. Ratio redaman dihitung dari pers. (3.27) adalah
12. Banyak keadaan aktual dimana pondasi atau penyokong struktur bergerak bervariasi menurut waktu. Struktur dipengaruhi oleh gerakkan tanah akibat gempa bumi atau pengaruh lain seperti ledakan atau aksi dinamis dari mesin merupakan contoh dimana penyokong (support) harus ikut dipertimbangkan dalam analisa respons dinamis. Perhatikan Gambar 3.10, keadaan dimana penyokong dari sebuah model sederhana dipengaruhi gerak harmonis yang diberikankan oleh peryataan Dimana adalah rumus amplitudo maxsimum dan adlah rumus frekuensi dari gerak penyokong. Persamaan differensial dari gerak didapat dengan menyamakan jumlah gaya-gaya (termasuk gaya inersia) dengan 0 sehubungan dengan diagram free body pada Gambar 3.10(b). jumlah gaya-gaya pada arah horizontal memberikan Subtusikan pers. (3.28) kedalam pers. (3.29) dan sesuikan, didapat, Dua bagian harmonis dari frekuensi rumus disebelah kanan persamaan dapat dikombinasikan dan pers. (3.30) dapat ditulis sebagai Dimana Dan Terlihat bahwa pers.(3.31) adalah persamaan differensial untuk osilator yang dipengaruhi gaya harmonis rumus dan mempunyai bentuk yang sama dengan pers. (3.10). akibatnya, solusi
13. keadaan tetap (steady state) dari pers. (3.31) daprat seperti per. (3.20) kecuali keduanya penambahan sudut β pada fungsi sinus, yaitu Atau subtitusi rumus dari pers. (3.23) Persamaan(3.35) adalah peryataan gambaran relative dari gerakan penyokong terhadap osilator. Ini adalah masalah penting dalam osilator getaran dimana peralatan harus dilindungi terhadap getaran keras dari struktur penyokong. Derajad dari isolator relative dikenal sebagai transmisibilitas (transmissibility) dan didefinisikan sebagai ratio amplitudo dari gerak isolator Y dan amplitude rumus dari gerak penyokong. Dari pers. (3.35), transmissibilitas (transmissibility) Tr diberikan oleh Rumus Gambar Suatu plot dari transmisibilitas sebagai fungsi dari ratio frekuensi dan ratio terendam, terlihat pada Gambar 3.11. Lengkungan pada gambar ini mirip dengan lengkungan pada Gambar 3.3. yang menyatakan respons frekuensi dari isolator terendam. Perbedaan utama adalah bahwa semua lengkungan pada Gambar 3.11 melewati suatu titik yang sama pada ratio frekuensi rumus. Dapat dilihat pada Gambar 3.11 bahwa redaman cenderung untuk mengurangi efektifitas isolator getaran untuk frekuensi yang lebih besar dari ratio, yaitu untuk r lebih besar dari rumus Persamaan (3.34) memberikan respons absolute dari isolator terendam pada gerak harmonis dari dasar (base). Alternatif lain adalah, menyelesaikan persamaan diferensial pers. (3.29) dalam besaran dari gerak relatif antara massa m dan penyokong (support), yang diberikan oleh Kemudian disubtitusikan kedalam pers. (3.29) memberikan
14. Dimanan rumus dapatdapat diartikan sebagai gaya efektif yang bekerja pada massa osilator, dan perpindahannya dinyatakan oleh koordinat u. Dengan menggunakan pers. (3.28)untuk mendapatkan rumus dan disubtitusikan kedalam pers. (3.38) memberikan, Kemudian pers. (3.39) adalah sama bentuknya dengan pers. (3.10) dengan rumus selanjutnya, dari pers. (3.20)respon keadaan tetap (steady state) dalam besaran gerak relative, diberikan oleh Atau subtitusi Didapat Dimana diberikan dalam pers. (3.21)
15. Contoh 3.4. Jika kerangka pada contoh 3.2 Gambar 3.7 dipengaruhi gerakan tanag sinusoidal rumus tentukan: (a)transmisibilitas dari gerak balok, (b) gaya geser maximum pada kolom penyokong, dan (c) tegangan maximum pada kolom parameter-parameter dari sistem ini Transmisibilitas dari pers. (3.36) adalah Perpindahan relative maxsimum U dari pers. (3.41) adalah Kemudian gaya geser maksimum U dari pers. (3.41) adalah Momen lentur maxsimum Dan tegangannya Dimana rumus adalah modulus penampang.
16. Pada bagian sebelumnya telah kita bicarakan respons struktur terhadap gerakan harmonis pada pondasinya. Sedangkan pada bagian ini akan dibicarakan masalah yang serupa dari isolator getaran. Misalnya adalah mencari gaya yang disalurkan kepondasi. Tinjau isolator teredam dengan gaya harmonis rumus yang berkerja pada massanya seperti pada Gambar 3.2. persamaan diferensil dari gerak ini adalah Dengan solusi keadaan tetap (steady state) Dimana Dan Gaya tersalaur kepenyokong melalui pegas rumus dan elemen redaman rumus . Sekarang gaya total yang tersalur adalah Diferensial pers. (3.19) dan subtitusi kedalam pers. (3.34) memberikan Atau Di mana Dan
17. Kemudian dari pers. (3.42) dan (3.45), gaya maximum rumus yang tersalur kepondasi adalah Transmisibilitas Tr didefinisikan sebagai ratio dari amplitudo gaya yang disalurkan kepondasi dan amplitudo gaya yang berkerja. Jadi dari pers. (3.48) Sangat menarik untuk dicatat bahwa baik transmisibilitas dari gerak pondasi kestruktur pers. (3.36) ataupun transmisibilitas dari gaya pada struktur ke pondasi pers. (3.49) memberikan fungsi yang sama. Jadi lengkungan transmisibilitas pada Gambar 3.11 menyatakan kedua bentuk transmisibilitas itu. Suatu peryataaan untuk fasa sudut total (total phase angel) φ pada pers. (3.45) dapat ditentukan dengan mengambil fungsi tangen dari kdua anggota pers. (3.47), jadi Kemudian subtitusi dan secara bersamaan dari pers. (3.21) dan (3.46), didapat.

Definition

The simplest vibratory system can be described by a single mass connected to a spring (and possibly a dashpot). The mass is allowed to travel only along the spring elongation direction. Such systems are called Single Degree-of-Freedom (SDOF) systems and are shown in the following figure,

Equation of Motion for SDOF Systems
SDOF vibration can be analyzed by Newton's second law of motion, F = m*a. The analysis can be easily visualized with the aid of a free body diagram, The resulting equation of motion is a second order, non-homogeneous, ordinary differential equation:  with the initial conditions,  The solution to the general SDOF equation of motion is shown in the damped SDOF discussion.